數學(xué)教案－雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)
作為一名優(yōu)秀的教育工作者，通常會(huì )被要求編寫(xiě)教案，教案是教學(xué)藍圖，可以有效提高教學(xué)效率�？靵�(lái)參考教案是怎么寫(xiě)的吧！以下是小編為大家整理的數學(xué)教案－雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，希望能夠幫助到大家。
�、逭n時(shí)目標
1．熟悉雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)。
2．能理解離心率的大小對雙曲線(xiàn)形狀的影響。
3．能運用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會(huì )求雙曲線(xiàn)的標準方程。
�、娼虒W(xué)過(guò)程
[情景設置]
敘述橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫(xiě)下表：
方程
性質(zhì)
圖像（略）
范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b
對稱(chēng)性對稱(chēng)軸、對稱(chēng)中心
頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）
離心率e=(幾何意義)
[探索研究]
1．類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：范圍、對稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率。
雙曲線(xiàn)的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長(cháng)、虛半軸長(cháng)及離心率的定義。
雙曲線(xiàn)與橢圓的幾何性質(zhì)對比如下：
方程
性質(zhì)
圖像（略）（略）
范圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R
對稱(chēng)性對稱(chēng)軸、對稱(chēng)中心對稱(chēng)軸、對稱(chēng)中心
頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）
離心率0＜e=＜1
e=＞1
下面繼續研究離心率的幾何意義：
�。╝、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2, e=＞1）
2.漸近線(xiàn)的發(fā)現與論證
根據橢圓的上述四個(gè)性質(zhì)，能較為準確地把畫(huà)出來(lái)嗎？（能）
根據上述雙曲線(xiàn)的四個(gè)性質(zhì)，能較為準確地把畫(huà)出來(lái)嗎？（不能）
通過(guò)列表描點(diǎn)，能把雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)，比較精確地畫(huà)出來(lái)，但雙曲線(xiàn)向何處伸展就不很清楚。
我們能較為準確地畫(huà)出曲線(xiàn)y=,這是為什么？（因為當雙曲線(xiàn)伸向遠處時(shí)，它與x軸、y軸無(wú)限接近）此時(shí)，x軸、y軸叫做曲線(xiàn)y=的漸近線(xiàn)。
問(wèn)：雙曲線(xiàn)有沒(méi)有漸近線(xiàn)呢？若有，又該是怎樣的直線(xiàn)呢？
引導猜想：在研究雙曲線(xiàn)的范圍時(shí)，由雙曲線(xiàn)的標準方程可解出：
y=± =±
當x無(wú)限增大時(shí)，就無(wú)限趨近于零，也就是說(shuō)，這是雙曲線(xiàn)y=±
與直線(xiàn)y=±無(wú)限接近。
這使我們猜想直線(xiàn)y=±為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。
直線(xiàn)y=±恰好是過(guò)實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標軸的直線(xiàn)x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線(xiàn)，那么，如何證明雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)沿曲線(xiàn)向遠處運動(dòng)時(shí)，與漸近線(xiàn)越來(lái)越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。
證法1：如圖，設M（x0,y0）為第一象限內雙曲線(xiàn)上的仍一點(diǎn)，則
y0=，M（x0,y0）到漸近線(xiàn)ay-bx=0的距離為：
∣MQ∣= =
=．
點(diǎn)M向遠處運動(dòng)，x0隨著(zhù)增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點(diǎn)就無(wú)限接近于y=
故把y=±叫做雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。
3．離心率的幾何意義
∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===
e越�。ń咏�1）越接近于0，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越�。ū猹M）
e越大越大，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越大（開(kāi)闊）
4．鞏固練習
求下列雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，并畫(huà)出雙曲線(xiàn)。
�、�4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4
已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為x±2y=0，分別求出過(guò)以下各點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程
�、費（4，）②M（4，）
[知識應用與解題研究]
例1求雙曲線(xiàn)9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(cháng)和虛半軸長(cháng)、焦點(diǎn)坐標、離心率、漸近線(xiàn)方程。
例2雙曲線(xiàn)型自然通風(fēng)塔的`外形，是雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當的坐標系，求出此雙曲線(xiàn)的方程（精確到1m）
�、杼釤捒偨Y
1.雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)及a、b、c、e的關(guān)系。
2.漸近線(xiàn)是雙曲線(xiàn)特有的性質(zhì)，其發(fā)現證明蘊含了重要的數學(xué)思想與數學(xué)方法。
3.雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)類(lèi)似點(diǎn)和不同點(diǎn)。
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