《對數函數的圖像與性質(zhì)》教案
案例背景
對數函數是函數中又一類(lèi)重要的基本初等函數，它是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)對數與常用對數，反函數以及指數函數的基礎上引入的．故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學(xué)思想的進(jìn)一步認識與理解．對數函數的概念，圖象與性質(zhì)的學(xué)習使學(xué)生的知識體系更加完整，系統，同時(shí)又是對數和函數知識的拓展與延伸．它是解決有關(guān)自然科學(xué)領(lǐng)域中實(shí)際問(wèn)題的重要工具，是學(xué)生今后學(xué)習對數方程，對數不等式的基礎．
案例敘述：
(一).創(chuàng )設情境
�。◣煟呵懊娴膸追N函數都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數的角度介紹新的函數．
反函數的實(shí)質(zhì)是研究?jì)蓚�(gè)函數的關(guān)系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發(fā)，再研究其反函數．這個(gè)熟悉的函數就是指數函數．
�。ㄌ釂�(wèn)）：什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?
�。▽W(xué)生）： 是指數函數，它是存在反函數的．
�。◣煟呵蠓春瘮档牟襟E
�。ㄓ梢粋�(gè)學(xué)生口答求反函數的過(guò)程）：
由 得 ．又 的值域為 ，
所求反函數為 ．
�。◣煟耗敲次覀兘裉炀褪茄芯恐笖岛瘮档姆春瘮�-----對數函數．
（二）新課
1.（板書(shū)） 定義：函數 的反函數 叫做對數函數．
�。◣煟河捎诙x就是從反函數角度給出的，所以下面我們的研究就從這個(gè)角度出發(fā)．如從定義中你能了解對數函數的什么性質(zhì)嗎?最初步的認識是什么?
�。ń處熖崾緦W(xué)生從反函數的三定與三反去認識，學(xué)生自主探究，合作交流）
�。▽W(xué)生）對數函數的定義域為 ，對數函數的值域為 ，且底數 就是指數函數中的 ，故有著(zhù)相同的限制條件 ．
�。ㄔ诖嘶A上，我們將一起來(lái)研究對數函數的圖像與性質(zhì)．）
2．研究對數函數的圖像與性質(zhì)
�。ㄌ釂�(wèn)）用什么方法來(lái)畫(huà)函數圖像?
�。▽W(xué)生1）利用互為反函數的兩個(gè)函數圖像之間的關(guān)系，利用圖像變換法畫(huà)圖．
�。▽W(xué)生2）用列表描點(diǎn)法也是可以的。
請學(xué)生從中上述方法中選出一種，大家最終確定用圖像變換法畫(huà)圖．
�。◣煟┯捎谥笖岛瘮档膱D像按 和 分成兩種不同的類(lèi)型，故對數函數的圖像也應以1為分界線(xiàn)分成兩種情況 和 ，并分別以 和 為例畫(huà)圖．
具體操作時(shí)，要求學(xué)生做到：
(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關(guān)鍵點(diǎn)的位置，圖像的變化趨勢等)．
(2) 畫(huà)出直線(xiàn) ．
(3) 的圖像在翻折時(shí)先將特殊點(diǎn) 對稱(chēng)點(diǎn) 找到，變化趨勢由靠近 軸對稱(chēng)為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時(shí)可提示學(xué)生分兩段翻折，在 左側的先翻，然后再翻在 右側的部分．
學(xué)生在筆記本完成具體操作，教師在學(xué)生完成后將關(guān)鍵步驟在黑板上演示一遍，畫(huà)出
和 的圖像．(此時(shí)同底的指數函數和對數函數畫(huà)在同一坐標系內)如圖：
教師畫(huà)完圖后再利用電腦將 和 的圖像畫(huà)在同一坐標系內，如圖：
然后提出讓學(xué)生根據圖像說(shuō)出對數函數的性質(zhì)(要求從幾何與代數兩個(gè)角度說(shuō)明)
3. 性質(zhì)
(1) 定義域：
(2) 值域：
由以上兩條可說(shuō)明圖像位于 軸的右側．
(3)圖像恒過(guò)(1,0)
(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，也不關(guān)于 軸對稱(chēng)．
(5) 單調性：與 有關(guān)．當 時(shí)，在 上是增函數．即圖像是上升的
當 時(shí)，在 上是減函數，即圖像是下降的．
之后可以追問(wèn)學(xué)生有沒(méi)有最大值和最小值，當得到否定答案時(shí)，可以再問(wèn)能否看待何時(shí)函數值為正?學(xué)生看著(zhù)圖可以答出應有兩種情況：
當 時(shí)，有 ；當 時(shí)，有 ．
學(xué)生回答后教師可指導學(xué)生巧記這個(gè)結論的方法：當底數與真數在1的同側時(shí)函數值為正，當底數與真數在1的兩側時(shí)，函數值為負，并把它當作第(6)條性質(zhì)板書(shū)記下來(lái)．
最后教師在總結時(shí)，強調記住性質(zhì)的關(guān)鍵在于要腦中有圖．且應將其性質(zhì)與指數函數的性質(zhì)對比記憶．(特別強調它們單調性的一致性)
對圖像和性質(zhì)有了一定的了解后，一起來(lái)看看它們的應用．
（三）．簡(jiǎn)單應用
1. 研究相關(guān)函數的性質(zhì)
例1. 求下列函數的定義域：
(1) (2) (3)
先由學(xué)生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制．
2. 利用單調性比較大小
例2. 比較下列各組數的'大小
(1) 與 ； (2) 與 ；
(3) 與 ； (4) 與 ．
讓學(xué)生先說(shuō)出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造對數函數利用單調性來(lái)比大�。詈笞寣W(xué)生以其中一組為例寫(xiě)出詳細的比較過(guò)程．
三．拓展練習
練習：若 ，求 的取值范圍．
四．小結及作業(yè)
案例反思：
本節的重點(diǎn)是理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象性質(zhì)．難點(diǎn)是利用指數函數的圖象和性質(zhì)得到對數函數的圖象和性質(zhì)．由于對數函數的概念是一個(gè)抽象的形式，學(xué)生不易理解，而且又是建立在指數與對數關(guān)系和反函數概念的基礎上，通過(guò)互為反函數的兩個(gè)函數的關(guān)系由已知函數研究未知函數的性質(zhì)，這種方法是第一次使用，學(xué)生不適應，把握不住關(guān)鍵，因而在上采取教師逐步引導，學(xué)生自主合作的方式，從學(xué)生熟悉的指數問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)對指數函數的認識逐步轉化為對對數函數的認識，而且畫(huà)對數函數圖象時(shí)，既要考慮到對底數的分類(lèi)討論而且對每一類(lèi)問(wèn)題也可以多選幾個(gè)不同的底，畫(huà)在同一個(gè)坐標系內，便于觀(guān)察圖象的特征，找出共性，歸納性質(zhì)．
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