數學(xué)測試題大全參考
數學(xué)測試題參考1
《1.2 函數及其表示（2）》測試題
一、選擇題
1.設函數，則( ).
A. B.3 C. D.
考查目的：主要考查分段函數函數值求法.
答案：D.
解析：∵，∴，∴，故答案選D.
2.下列各組函數中，表示同一函數的是( ).
A.， B.，
C.， D.，
考查目的：主要考查對函數概念的理解.兩個(gè)函數相同，則這兩個(gè)函數的定義域和對應關(guān)系均要相同.
答案：C
解析：A、B選項錯，是因為兩個(gè)函數的定義域不相同；D選項錯，是因為兩個(gè)函數的對應關(guān)系不相同.
3.函數的圖象如圖所示， 對于下列關(guān)于函數說(shuō)法：
�、俸瘮档亩x域是；
�、诤瘮档闹涤蚴�；
�、蹖τ谀骋缓瘮抵�，可能有兩個(gè)自變量的值與之對應.
其中說(shuō)法正確的有( ).
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
考查目的：本題主要考查對函數概念的理解以及對區間符號的認識.
答案：C
解析：從圖可知，函數的定義域是[，所以①不正確，②、③說(shuō)法正確，故選C.
二、填空題
4.如圖，函數的圖像是曲線(xiàn)OAB，其中點(diǎn)O、A、B的坐標分別為（O，O），（1，2），（3，1），則的值等于 .
考查目的：主要考查用圖象表示函數關(guān)系以及求函數值.
答案：2
解析：由圖可知，，，∴.
5.已知函數，，則實(shí)數的值等于 ．
考查目的：主要考查分段函數的函數值的求法.
答案：.
解析：∵，∴，∴，∴，∴只能有，.
高中地理;
6.在同一平面直角坐標系中，函數和的圖象關(guān)于直線(xiàn)對稱(chēng).的圖象是由兩條線(xiàn)段組成的折線(xiàn)(如圖），則函數的表達式為 .
考查目的：主要考查函數的表示法：解析法與圖像法，分段函數的表示.
答案：.
解析：點(diǎn)()關(guān)于直線(xiàn)對稱(chēng)的點(diǎn)為()，∴的圖象上的三點(diǎn)(-2，0)，(0，1)，(1，3)關(guān)于直線(xiàn)對稱(chēng)的點(diǎn)分別為(0，-2)，(1，0)，(3，1)，∴函數.
三、解答題
7.已知的定義域是，求的表達式.
考查目的：主要考查函數的解析式的求法.一定要注意函數的定義域.
答案：.
解析：，令，則，且，∴，
即，則.
8.某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特修一條專(zhuān)用鐵路，用一列火車(chē)作為交通車(chē)，已知該車(chē)每次拖4節車(chē)廂，一日能來(lái)回16次， 如果每次拖7節車(chē)廂，則每日能來(lái)回10次.
�、湃裘咳諄�(lái)回的次數是車(chē)頭每次拖掛車(chē)廂節數的一次函數，求此一次函數解析式；
�、圃冖诺臈l件下，每節車(chē)廂能載乘客110人，問(wèn)這列火車(chē)每天來(lái)回多少次才能使運營(yíng)人數最多?并求出每天最多運營(yíng)人數.
考查目的：主要考查實(shí)際問(wèn)題中求函數解析式、二次函數求最值.
解析：⑴設每日來(lái)回次，每次掛節車(chē)廂，，由題意知，當時(shí)，當時(shí)，∴，解得，∴；
�、圃O每日來(lái)回次，每次掛節車(chē)廂，由題意知，每日掛車(chē)廂最多時(shí)，營(yíng)運人數最多，設每日營(yíng)運節車(chē)廂，則，∴當時(shí)，，此時(shí)，則每日最多運營(yíng)人數為110×72=7920(人)，即這列火車(chē)每天來(lái)回12次，才能使運營(yíng)人數最多，每天最多運營(yíng)人數為7920.
高考數學(xué)復習：名師指點(diǎn)2016年高考數學(xué)一輪復習方法
2010年高考又該怎么復習，怎么規劃呢?很多成功考生的經(jīng)驗告訴我們，“信心和毅力比什么都重要”。那些肯于用自己的腦袋學(xué)習，既有刻苦精神，又講求科學(xué)方法的同學(xué)，在學(xué)習的道路上一定會(huì )有長(cháng)足的進(jìn)步。
第一輪復習，即基礎復習階段，這個(gè)階段的復習是整個(gè)高考復習中最關(guān)鍵的環(huán)節，一般從8月份到第二年的三月份，歷時(shí)8個(gè)月，這一階段的復習效果直接影響整個(gè)高考的成敗，因此同學(xué)們應該高度重視，在第一輪復習中我們必須嚴格按照《復習大綱》的要求，把《大綱》中所有的考點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行突破，全面落實(shí)，形成完整的知識體系。這就需要考生要對課本中的基本概念，基本公式，基本方法重點(diǎn)掌握，在復習中應淡化特殊技巧的訓練，重視數學(xué)思想和方法的作用。常用的數學(xué)思想方法有：(1)函數思想方法：根據問(wèn)題的特點(diǎn)構建函數將所要研究的問(wèn)題，轉化為對構建函數的性質(zhì)如定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、最值、對稱(chēng)性、范圍和圖像的交點(diǎn)個(gè)數等的研究;(2)方程思想方法：通過(guò)列方程(組)建立問(wèn)題中的已知數和未知數的關(guān)系，通過(guò)解方程(組)實(shí)現化未知為已知，從而實(shí)現解決問(wèn)題的目的;(3)數形結合的思想：它可以把抽象的數學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)圖形相對應，使復雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，(4)分類(lèi)討論的思想：此思想方法在解答題中越來(lái)越體現出其重要地位，在解題中應明確分類(lèi)原則：標準要統一，不重不漏。
同時(shí)考生在此階段的復習過(guò)程中一定要重視教材的作用，我們有很大一部分考生不重視課本，甚至在高考這一年中從來(lái)沒(méi)翻過(guò)課本，這是非常危險的。因為高考試題有一部分都是從書(shū)上的例題和練習里引申變形而來(lái)的，對于我們基礎比較薄弱的.同學(xué)來(lái)講，就更應該仔細閱讀教材，認真琢磨書(shū)上的例題，體會(huì )其中包含的數學(xué)思想和數學(xué)方法。這對于我們提高數學(xué)能力是非常有幫助的!
對于課外參考書(shū)的選擇我認為選擇一到兩本適合自己的參考書(shū)，把里面的精髓學(xué)懂學(xué)會(huì )就足夠了，不必弄的太多，弄的太多，反而對自己是一個(gè)很大的包袱。
高三數學(xué)概率訓練題
章末綜合測（10）概率
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：
�、佟叭〕�2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；
�、凇叭〕�2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；
�、邸叭〕�3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；
�、堋叭〕�3只紅球”與“取出3只白球”．
其中是對立事件的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．③
D解析：從袋中任取3只球，可能取到的情況有：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的兩個(gè)事件都不是對立事件．對于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”三種情況，與“取出3只紅球”是對立事件.
2．取一根長(cháng)度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是( )
A.14 B.13
C.12 D.23
C解析：把繩子4等分，當剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時(shí)，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為P＝24＝12.
3．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸的概率為80%，則甲 、乙兩人下一盤(pán)棋，你認為最為可能出現的情況是( )
A．甲獲勝 B．乙獲勝
C．甲、乙下成和棋 D．無(wú)法得出
C解析：兩人下成和棋的概率為50%，乙勝的概率為20%，故甲、乙兩人下一盤(pán)棋，最有可能出現的情況是 下成和棋.
4．如圖所示，墻上掛有邊長(cháng)為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為a2的扇形，某人向此板投鏢，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是( )
A．1－π4 B.π4
C．1－π8 D．與a的取值有關(guān)
A 解析：幾何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故選A.
5．從1,2,3,4這四個(gè)數中，不重復地任意取兩個(gè)種，兩個(gè)數一奇一偶的概率是( )
A.16 B.25
C.13 D.23
D 解析：基本事件總數為6，兩個(gè)數一奇一偶的情況有4種，故所求概率P＝46＝23.
6．從含有4個(gè)元素的集合的所有子集中任取一個(gè)，所取的子集是含有2個(gè)元素的集合的概率是( )
A.310 B.112
C.4564 D.38
D解析：4個(gè)元素的集合共16個(gè)子集，其中含有兩個(gè)元素的子集有6個(gè)，故所求概
率為P＝616＝38.
7 ．某班準備到郊外野營(yíng)，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準時(shí)收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會(huì )淋雨，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．一定不會(huì )淋雨 B．淋雨的可能性為34
C．淋雨的可能性為12 D．淋雨的可能性為14
D解析：基本事件有“下雨帳篷到”、“不下雨帳篷到”、“下雨帳篷未到”、“不下
雨帳篷未到”4種情況，而只有“下雨帳篷未到”時(shí)會(huì )淋雨，故淋雨的可能性為14.
8．將一顆骰子連續拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數依次成等差數列的概率為( )
A.19 B.112
C.115 D.118
D解析：基本事件總數為216，點(diǎn)數構成等差數列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12個(gè)，故求概率為P＝12216＝118.
9．設集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和集合B中隨機取一個(gè)數a和b，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，記“點(diǎn)P(a，b)落在直線(xiàn)x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則N的所有可能值為( )
A．3 B．4
C．2和5 D．3和4
D解析：點(diǎn)P(a，b)的個(gè)數共有2×3＝6個(gè)，落在直線(xiàn)x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直線(xiàn)x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直線(xiàn)x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直線(xiàn)x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故選D.
10．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數分別為m，n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈0，π2的概率是( )
A.512 B.12
C.712 D.56
C 解析：基本事件總數為36，由cosθ＝abab≥0得ab≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4) 高二，(6,5)，(6,6)共21個(gè)，故所求概率為P＝2136＝712.
11．在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，方格的邊長(cháng)(方格邊長(cháng)設為a)要多少才能使得硬幣與方格線(xiàn)不相交的概率小于1% ( )
A．a(chǎn)＞910 B．a(chǎn)＞109
C．1＜a＜109 D．0＜a＜910
C解析：硬幣與方格線(xiàn)不相交，則a＞1時(shí)，才可能發(fā)生，在每一個(gè)方格內，當硬幣的圓心落在邊長(cháng)為a－1，中心與方格的中心重合的小正方形內時(shí)，硬幣與方格線(xiàn)不相交，故硬幣與方格線(xiàn)不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.
12．集合A＝{(x，y)x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)y≤－x＋5，x∈N}，先后擲兩顆骰子，設擲第一顆骰子得點(diǎn)數記作a，擲第二顆骰子得數記作b，則(a，b)∈A∩B的概率等于 ( )
A.14 B.29
C.736 D.536
B解析：根據二元一次不等式組表示的平面區域，可知A∩B對應如圖所示的陰影部分的區域中的整數點(diǎn)．其中整數點(diǎn)有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14個(gè)．現先后拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數分別有6種，共會(huì )出現36種結果，其中落入陰影區域內的有8種，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以滿(mǎn)足(a，b)∈A∩B的概率為836＝29，
二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．
13．若實(shí)數x，y滿(mǎn)足x≤2，y≤1，則任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率為_(kāi)_________．
解析：點(diǎn)(x，y)在由直線(xiàn)x＝±2和y＝±1圍成的矩形上或其內部，使x2＋y2≤1的點(diǎn)(x，
y)在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上或其內部，故所求概率為P＝π4×2＝π8.
答案：π8
14．從所有三位二進(jìn)制數中隨機抽取一個(gè)數，則這個(gè)數化為十進(jìn)制數后比5大的概率是
________．
解析：三位二進(jìn)制數共有4個(gè)，分別111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)與110(2)化為十
進(jìn)制數后比5大，故所求概率為P＝24＝12.
答案：12
15．把一顆骰子投擲兩次，第一次出現的點(diǎn)數記為m，第二次出現的點(diǎn)數記為n，方程
組mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一組解的概率是__________．
1718 解析：由題意，當m2≠n3，即3m≠2n時(shí)，方程組只有一解．基本事件總數為36，
滿(mǎn)足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共兩個(gè)，故滿(mǎn)足3m≠2n的基本事件數為34個(gè)，
故所求概率為P＝3436＝1718.
16．在圓(x－2)2＋(y－2)2＝8內有一平面區域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，點(diǎn)P是圓內的
任意一點(diǎn)，而且出現任何一個(gè)點(diǎn)是等可能的．若使點(diǎn)P落在平面區域E內的概率最
大，則m＝__________.
0 解析：如圖所示，當m＝0時(shí)，平面區域E的面積最大，
則點(diǎn)P落在平面區域E內的概率最大．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．(10分)某公司在過(guò)去幾年內使用某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽 命(單位：小時(shí))進(jìn)行了統計，統計結果如下表所示
分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
頻數 48 121 208 223 193 165 42
頻率[]
(1)將各組的頻率填入表中；
(2)根據上述統計結果，計算燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的頻率；
(3)該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管15支，若將上述頻率作為概率，估計經(jīng)過(guò)1 500小時(shí)約需換幾支燈管．
解析：
分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
頻數 48 121 208 223 193 165 42
頻率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以，燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的頻率是0.6.
(3)由(2)只，燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率為0.6.
15×0.6＝9，故經(jīng)過(guò)1 500小時(shí)約需換9支燈管．
18．(12分)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現有放回地隨機摸取3次，每次摸 取一個(gè)球．
(1)一共有多少種不同的結果？請列出所有可能的結果；
(2)若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．
解析：(1)一共有8種不同的結果，列舉如下：
(紅，紅，紅)、(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(紅，黑，黑)、
(黑、紅，紅)、(黑，紅，黑)、(黑，黑，紅)、(黑、黑、黑)．
(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A，
事件A包含的基本事件為：
(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(黑，紅，紅)．
事件A包含的基本事件數為3.
由(1)可知，基本事件總數為8，
所以事件A的概率為P(A)＝38.
19．(12分)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，記第一次出現的點(diǎn)數為a，第二次出現的點(diǎn)數為b.設復數z＝a＋bi.
(1)求事件“z－3i為實(shí)數”的概率；
(2)求事件“復數z在復平面內的對應點(diǎn)(a，b)滿(mǎn)足(a－2)2＋b2≤9”的概率．
解析：(1)z－3i為實(shí)數，
即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實(shí)數，∴b＝3.
又b可取1,2,3,4,5,6，故出現b＝3的概率為16.
即事件“z－3i為實(shí)數”的概率為16.
(2)由已知，b的值只能取1,2,3.
當b＝1時(shí)，(a－2)2≤8，即a可取1,2,3,4；
當b＝2時(shí)，(a－2)2≤5，即a可取1,2,3,4；
當b＝3時(shí)，(a－2)2≤0，即a可取2.
綜上可知，共有9種情況可使事件成立．
又a，b的取值情況共有36種，
所以事件“點(diǎn)(a，b)滿(mǎn)足(a－2 )2＋b2≤9”的概率為14.
20．(12分)汶川地震發(fā)生后，某市根據上級要求，要從本市人民醫院報名參加救援的護理專(zhuān)家、外科專(zhuān)家、治療專(zhuān)家8名志愿者中，各抽調1名專(zhuān)家組成一個(gè)醫療小組與省專(zhuān)家組一起赴汶川進(jìn)行醫療求助，其中A1，A2，A3是護理專(zhuān)家，B1，B2，B3是外科專(zhuān)家，C1，C2是治療專(zhuān)家．
(1)求A1恰被選中的概率；
(2)求B1和C1不全被選中的概率．
解析：(1)從8名志愿者中選出護理專(zhuān)家、外科專(zhuān)家、心理治療專(zhuān)家各1名，其一切可能的結果為：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18個(gè)基本事件．
用M表示“A1恰被選中 ”這一事件，則
M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6個(gè)基本事件．
所以P(M)＝618＝13.
(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則 其對立事件N表示“B1和C1全被選中”這一事件，
由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3個(gè)基本事件，
所以P(N)＝318＝16，
由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.
21．(12分)設關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是從－4，－3，－2，－1四個(gè)數中任取的一個(gè)數，b是從1,2,3三個(gè)數中任取的一個(gè)數，求上述方程有實(shí)根的概率；
(2)若a是從區間[－4，－1]任取的一個(gè)數，b是從區間[1,3]任取的一個(gè)數，求上述方程有實(shí)根的概率．
解析：設事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．
當a＜0，b＞0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a＋b≤0.
(1)基本事件共12個(gè)：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，
(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．
其中第一個(gè)數表示a的取值，第二個(gè)數表示b的取值．事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為
P(A)＝912＝34.
(2)試驗的全部結果所構成的區域為
{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3}，構成事件A的區域為{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，
所求概率為這兩區域面積的比．
所以所求的概率P＝3×2－12×223×2＝23.
22．(12分)某單位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分別擔任周六、周日的值班任務(wù)(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．
(1)共有多少種安排？
(2)其中甲、乙兩人都被安排的概率是多少？
(3)甲、乙兩人中至少有一人被安排的概率是多少？
解析：(1)安排情況如下：
甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12種安排方法．
(2)甲、乙兩人都被安排的情況包括：“甲乙”，“乙甲”兩種，故甲、乙兩人都被安排(記為事件A)的概率為
P(A)＝212＝16.
(3)方法一：“甲、乙兩人中至少有一人被安排”與“甲、乙兩人都不被安排”這兩個(gè)事件是對立事件，∵甲、乙兩人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”兩種，則“甲、乙兩人都不被安排的概率為212＝16”．
∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.
方法二：甲、乙兩人中至少有一人被安排的情況包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10種，∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1012＝56.
分類(lèi)計數原理與分步計數原理、排列
一. 教學(xué)內容：分類(lèi)計數原理與分步計數原理、排列
二. 教學(xué)重、難點(diǎn)：
1. 分類(lèi)計數原理，分步計數原理
2.
【典型例題
[例1] 有三個(gè)袋子，其中一個(gè)袋子裝有紅色小球20個(gè)，每個(gè)球上標有1至20中的一個(gè)號碼，一個(gè)袋子裝有白色小球15個(gè)，每個(gè)球上標有1至15中的一個(gè)號碼，第三個(gè)袋子裝有黃色小球8個(gè)，每個(gè)球上標有1至8中的一個(gè)號碼。
�。�1）從袋子里任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？
�。�2）從袋子里任取紅、白、黃色球各一個(gè)，有多少種不同的取法？
解：
�。�1）任取一個(gè)小球的可分三類(lèi)，一類(lèi)取紅球，有20種取法；一類(lèi)取白球，有15種取法；一類(lèi)取黃球，有8種取法。由分類(lèi)計數原理共有20 15 8=43種不同取法。
�。�2）取三色小球各一個(gè)，可分三步完成 高中歷史，先取紅球。有20種取法；再取白球，有15種取法；最后取黃球，有8種取法。由分步計數原理，共有 種不同的取法。
[例2] 在所有的兩位數中，個(gè)位數字比十位數字大的兩位數有多少個(gè)？
解：分析個(gè)位數字，可分以下幾類(lèi)：
個(gè)位是9，則十位可以是1，2，3，……，8中的一個(gè)，故有8個(gè)；
個(gè)位是8，則十位可以是1，2，3，……，7中的一個(gè)，故有7個(gè)；
與上同樣。
個(gè)位是7的有6個(gè)；
個(gè)位是6的有5個(gè)；
……
個(gè)位是2的只有1個(gè)。
由分類(lèi)計數原理知，滿(mǎn)足條件的兩位數有 （個(gè)）
[例3] 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò )的結點(diǎn)，結點(diǎn)之間的連線(xiàn)表示它們有網(wǎng)線(xiàn)相聯(lián)，連線(xiàn)標注的數字，表示該網(wǎng)線(xiàn)單位時(shí)間內可以通過(guò)的最大信息量，現從結點(diǎn)A向結點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開(kāi)沿不同的路線(xiàn)同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內傳遞的最大信息量為多少？
解：沿12?D5?D3路線(xiàn)傳遞的信息最大量為3（單位時(shí)間內），沿12?D6?D4路線(xiàn)傳遞信息的最大量為4……由于以上每個(gè)線(xiàn)路均能獨立完成這件事（傳遞信息），故單位時(shí)間內傳遞的最大信息量為3 4 6 6=19。
[例4] 用6種不同的顏色對下圖中5個(gè)區域涂色，每個(gè)區域涂一種顏色，相鄰的區域不能同色，那么共有多少種不同的涂色方法？
解：分五步進(jìn)行，第一步給5號域涂色有6種方法
第二步給4號涂有5種方法
第三步給1號涂有5種方法
第四步給2號涂有4種方法
第五步給3號涂有4種方法
根據分步計數原理，共有 值
�。�1） ；（3） 。
解：（1）由排列數公式，
得
整理得 或 （舍去） ∴
解得
�。�3）由排列數公式，得 ∴ ；
�。�2）
∴
�。�3）∵
[例7] 由0，1，2，3，4，5共六個(gè)數字可組成多少個(gè)沒(méi)有重復數字且能被5整除的六位數？
解：組成的六位數與順序有關(guān)，但首位不能排0，個(gè)位必須排0或5，因此分兩類(lèi)：第一類(lèi)：個(gè)位必須排0，此時(shí)前五位數由1，2，3，4，5共五個(gè)數字組成，這五個(gè)數字的每一個(gè)排列對應一個(gè)六位數，故此時(shí)有 個(gè)六位數。第二類(lèi)：個(gè)位數排5，此時(shí)為完成這件事（構造出六位數）還應分兩步，第一步排首位，有4種排法，第二步排中間四位，有 個(gè)。
[例8] 用0，1，2，3，4五個(gè)數字組成的無(wú)重復數字的五位數中，其依次從小到大的排列。
�。�1）第49個(gè)數是多少？（2）23140是第幾個(gè)數？
解：（1）1、2是首數時(shí)各組成 個(gè)；2在萬(wàn)位，0、1在千位的共有 個(gè)，還有23104比23140小，故23140是第 種方法，然后讓剩下的5個(gè)人（其中包括甲）站在中間的5個(gè)位置，有 種站法。
方法二：因為甲不在兩端，分兩步排隊，首先排甲，有 種方法，第二步讓其他6人站在其他6個(gè)位置上，有 種方法，第二步讓甲插入這6個(gè)人之間的空當中，有 種，故共有 種站法。
方法四：在排隊時(shí)，對7個(gè)人，不考慮甲的站法要求任意排列，有 種方法，因此共有 種排法，再考慮其余5個(gè)元素的排法有 種。
方法二：甲、乙兩人不能站在兩端，應包括同時(shí)不在兩端，某一人在兩端，故用排異法，應減去兩種情況，同時(shí)在兩端，有 種不同站法。
�。�3）分三步：第一步，從甲、乙以外的5個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有 種方法，第三步，對甲、乙進(jìn)行全排列，故共有 種不同站法。
�。�4）方法一：男生站在前4個(gè)位置上有 種站法，男女生站成一排是分兩步完成的，因此這種站法共有 種站法，這兩種站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有 種排法，然后排四名男生，有 種排法，根據分步計數原理，將四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有 種排法，在四名男生間的三個(gè)間隔共有三個(gè)位置安排三名女生，有 種排法符合要求，故四名男生三名女生相間排列的排法共有 種。
�。�6）在7個(gè)位置上任意排列7名，有排法 中每一種情況均以 種。
[例10] 某班開(kāi)設的課程有、、、、、、、體育共8門(mén)。若星期一上午排4節不同的課，并且規定體育課不能排在第一節及第四節，那么星期一上午該班的課程表有多少種不同的排法？
解：若不排體育課，則有 ，且A中至少有一個(gè)奇數，則這樣的集合有（ ）
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
2. 書(shū)架上、下兩層分別放有5本不同的數學(xué)書(shū)和4本不同的語(yǔ)文書(shū)，從中選兩本數學(xué)書(shū)和一本語(yǔ)文書(shū)，則不同的選法有 種（ ）
A. 9 B. 13 C. 24 D. 40
3. 不等式 B. 或 或
4. 已知 的值為（ ）
A. 7 B. 2 C. 6 D. 8
5. 2個(gè)男生和4個(gè)女生排成一排，其中男生既不相鄰也不排兩端的不同排法有（ ）
A. 種
C. 種
6. 27位女同學(xué)排隊照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，則所有不同的排法種數為（ ）
A.
C.
二. 解答題
1. （1）某教學(xué)樓有三個(gè)不同的樓梯，4名學(xué)生要下樓，共有多少種不同的下樓方法？（2）有4名同學(xué)要爭奪3個(gè)比賽項目的冠軍，冠軍獲得者共有多少種可能？
2. 現有年級四個(gè)班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數學(xué)課外小組。
�。�1）選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？
�。�2）每班選一名組長(cháng)，有多少種不同的選法？
�。�3）推選兩人作中心發(fā)言，這兩人需來(lái)自不同的班級，有多少種不同的選法？
3. 解下列各式中的 值。
�。�1） （2）
【答案】
一. 選擇題
1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C
二. 解答題
1. 解：
�。�1）4名學(xué)生分別下樓，即問(wèn)題分4步完成。每名學(xué)生都有3種不同的下樓方法，根據分步計數原理，不同的下樓方法共有 種。
�。�2）確定3項冠軍人選可逐項完成，即分3步，第1項冠軍人選有4種可能，第2項與第3項也均有4種可能，根據分步計數原理：冠軍獲得者共有 （種）
�。�2）分四步，易知不同的選法總數
�。ǚN）
�。�3）分六類(lèi)，每類(lèi)又分兩步，從一、二班學(xué)生中各選1人，有 種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有 種不同選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有 種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有 種不同的選法，所以共有不同的選法數
∴
∴ （舍）
�。�2）
∴ （舍）
4. 解：
�。�1）先排乙有2種方法，再排其余5位同學(xué)有 種排法。
�。�4） 種排法。
�。�5） 種排法。
�。�6）7個(gè)學(xué)生的所有排列中，3名女生交換順序得到的排列只對應一個(gè)符合題意的排隊方式，故共有 種排法。
邏輯學(xué)悖論－－徽章和涂寫(xiě)
M：頒發(fā)一枚勛章，勛章上寫(xiě)著(zhù)：
禁止授勛！
M：或者涂寫(xiě)一個(gè)告示：
不準涂寫(xiě)！
學(xué)生們知道為什么這些敘述是矛盾的嗎？它們均違背了它們自己所提出的要求。學(xué)生們一定愿意編出其他的例子，比如在緩沖器的連結桿上寫(xiě)“除去緩沖器連結桿”，一個(gè)招牌上寫(xiě)：“不許讀這個(gè)招牌”，等等�！獋�(gè)單身漢宣稱(chēng)，只有漂亮得不愿嫁給他的姑娘，他才想要。一個(gè)人拒絕加入一切愿吸收他為成員的俱樂(lè )部�！獋�(gè)小女孩說(shuō)，她很高興她討厭吃菜花，因為要是她喜歡的話(huà)，就會(huì )吃得太多，結果她就不能老吃到菜花了。更為接近說(shuō)謊者悖論的是下面這種自相矛盾的話(huà) “一切規則都有例外”和“所有知識都值得懷疑�！�
高考數學(xué)復習：從90分提高到135分的方法
數學(xué)成績(jì)90分，只相當于百分制的及格，從歷年高考看，無(wú)論文科還是理科這個(gè)成績(jì)都很困難。但是，把數學(xué)成績(jì)從90分提高到135分并不是很難，那為什么很多考生直到高考結束還不能有所突破，究其原因可歸納為：內在自信缺乏，外來(lái)方法欠佳。
“自信”和“方法”相輔相成。沒(méi)有“自信”，好方法將打折扣；沒(méi)有“方法”，很難建立自信。實(shí)際教學(xué)中方法更重要，方法是得高分的保障。好的方法很多，這里介紹一種適用范圍廣、見(jiàn)效明顯的方法，正是這種方法使多個(gè)學(xué)生成績(jì)從90分以下提升到135分以上，希望能使更多的考生明顯提高數學(xué)成績(jì)。
第一部分：學(xué)習的方法
一·預習是聰明的選擇
最好老師指定預習內容，每天不超過(guò)十分鐘，預習的目的就是強制記憶基本概念。
二·基本概念是根本
基本概念要一個(gè)字一個(gè)字理解并記憶，要準確掌握基本概念的內涵外延。只有思維鉆進(jìn)去才能了解內涵，思維要發(fā)散才能了解外延。只有概念過(guò)關(guān)，作題才能又快又準。
三·作業(yè)可鞏固所學(xué)知識
作業(yè)一定要認真做，不要為節約時(shí)間省步驟，作業(yè)不要自檢，全面暴露存在的問(wèn)題是好事。
四·難題要獨立完成
想得高分一定要過(guò)難題關(guān)，難題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì )三種語(yǔ)言的熟練轉換。（文字語(yǔ)言、符號語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言）
第二部分：復習的方法
五·加倍遞減訓練法
通過(guò)訓練，從心理上、精力上、準確度上逐漸調整到考試的最佳狀態(tài)，該訓練一定要在專(zhuān)業(yè)人員指導下進(jìn)行，否則達不到效果。
六·考前不要做新題
考前找到你近期做過(guò)的試卷，把錯的題重做一遍，這才是有的放矢的復習方法。
第三部分：考試的方法
七·良好心態(tài)
考生要自信，要有客觀(guān)的考試目標。追求正常發(fā)揮，而不要期望自己超長(cháng)表現，這樣心態(tài)會(huì )放的很平和。沉著(zhù)冷靜的同時(shí)也要適度緊張，要使大腦處于最佳活躍狀態(tài)
八·考試從審題開(kāi)始
審題要避免“猜”、“漏”兩種不良習慣，為此審題要從字到詞再到句。
九·學(xué)會(huì )使用演算紙
要把演算紙看成是試卷的一部分，要工整有序，為了方便檢查要寫(xiě)上題號。
十·正確對待難題
難題是用來(lái)拉開(kāi)分數的，不管你水平高低，都應該學(xué)會(huì )繞開(kāi)難題最后做，不要被難題搞亂思緒，只有這樣才能保證無(wú)論什么考試，你都能排前幾名。
函數的概念達標練習
1．下列說(shuō)法中正確的為( )
A．y＝f(x)與y＝f(t)表示同一個(gè)函數
B．y＝f(x)與y＝f(x＋1)不可能是同一函數
C．f(x)＝1與f(x)＝x0表示同一函數
D．定義域和值域都相同的兩個(gè)函數是同一個(gè)函數
解析：選A.兩個(gè)函數是否是同一個(gè)函數與所取的字母無(wú)關(guān)，判斷兩個(gè)函數是否相同，主要看這兩個(gè)函數的定義域和對應法則是否相同．
2．下列函數完全相同的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝x，g(x)＝x2
C．f(x)＝x，g(x)＝x2x
D．f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3
解析：選B.A、C、D的定義域均不同．
3．函數y＝1－x＋x的定義域是( )
A．{xx≤1} B．{xx≥0}
C．{xx≥1或x≤0} D．{x0≤x≤1}
解析：選D.由1－x≥0x≥0，得0≤x≤1.
4．圖中(1)(2)(3)(4)四個(gè)圖象各表示兩個(gè)變量x，y的對應關(guān)系，其中表示y是x的函數關(guān)系的有________．
解析：由函數定義可知，任意作一條直線(xiàn)x＝a，則與函數的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，對于本題而言，當－1≤a≤1時(shí)，直線(xiàn)x＝a與函數的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，當a＞1或a＜－1時(shí)，直線(xiàn)x＝a與函數的圖象沒(méi)有交點(diǎn)．從而表示y是x的函數關(guān)系的有(2)(3)．
答案：(2)(3)
1．函數y＝1x的定義域是( )
A．R B．{0}
C．{xx∈R，且x≠0} D．{xx≠1}
解析：選C.要使1x有意義，必有x≠0，即y＝1x的定義域為{xx∈R，且x≠0}．
2．下列式子中不能表示函數y＝f(x)的是( )
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝y
解析：選A.一個(gè)x對應的y值不唯一．
3．下列說(shuō)法正確的是( )
A．函數值域中每一個(gè)數在定義域中一定只有一個(gè)數與之對應
B．函數的定義域和值域可以是空集
C．函數的定義域和值域一定是數集
D．函數的定義域和值域確定后，函數的對應關(guān)系也就確定了
解析：選C.根據從集合A到集合B函數的定義可知，強調A中元素的任意性和B中對應元素的唯一性，所以A中的多個(gè)元素可以對應B中的同一個(gè)元素，從而選項A錯誤；同樣由函數定義可知，A、B集合都是非空數集，故選項B錯誤；選項C正確；對于選項D，可以舉例說(shuō)明，如定義域、值域均為A＝{0,1}的函數，對應關(guān)系可以是x→x，x∈A，可以是x→x，x∈A，還可以是x→x2，x∈A.
4．下列集合A到集合B的對應f是函數的是( )
A．A＝{－1 高中歷史,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數開(kāi)方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數取倒數
D．A＝R，B＝{正實(shí)數}，f：A中的數取絕對值
解析：選A.按照函數定義，選項B中集合A中的元素1對應集合B中的元素±1，不符合函數定義中一個(gè)自變量的值對應唯一的函數值的條件；選項C中的元素0取倒數沒(méi)有意義，也不符合函數定義中集合A中任意元素都對應唯一函數值的要求；選項D中，集合A中的元素0在集合B中沒(méi)有元素與其對應，也不符合函數定義，只有選項A符合函數定義．
5．下列各組函數表示相等函數的是( )
A．y＝x2－3x－3與y＝x＋3(x≠3)
B．y＝x2－1與y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)與y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z
解析：選C.A、B與D對應法則都不同．
6．設f：x→x2是集合A到集合B的函數，如果B＝{1,2}，則A∩B一定是( )
A． B．或{1}
C．{1} D．或{2}
解析：選B.由f：x→x2是集合A到集合B的函數，如果B＝{1,2}，則A＝{－1,1，－2，2}或A＝{－1,1，－2}或A＝{－1,1，2}或A＝{－1，2，－2}或A＝{1，－2，2}或A＝{－1，－2}或A＝{－1，2}或A＝{1，2}或A＝{1，－2}．所以A∩B＝或{1}．
7．若[a,3a－1]為一確定區間，則a的取值范圍是________．
解析：由題意3a－1＞a，則a＞12.
答案：(12，＋∞)
8．函數y＝x＋103－2x的定義域是________．
解析：要使函數有意義，
需滿(mǎn)足x＋1≠03－2x＞0，即x＜32且x≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，32)
9．函數y＝x2－2的定義域是{－1,0,1,2}，則其值域是________．
解析：當x�。�1,0,1,2時(shí)，
y＝－1，－2，－1,2，
故函數值域為{－1，－2,2}．
答案：{－1，－2,2}
10．求下列函數的定義域：
(1)y＝－x2x2－3x－2；(2)y＝34x＋83x－2.
解：(1)要使y＝－x2x2－3x－2有意義，則必須
�。瓁≥0，2x2－3x－2≠0，解得x≤0且x≠－12，
故所求函數的定義域為{xx≤0，且x≠－12}．
(2)要使y＝34x＋83x－2有意義，則必須3x－2＞0，即x＞23， 故所求函數的定義域為{xx＞23}．
11．已知f(x)＝11＋x(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
解：(1)∵f(x)＝11＋x，
∴f(2)＝11＋2＝13，
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)由(1)知g(2)＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.
12．已知函數y＝ax＋1(a＜0且a為常數)在區間(－∞，1]上有意義，求實(shí)數a的取值范圍．
解：函數y＝ax＋1(a＜0且a為常數)．
∵ax＋1≥0，a＜0，∴x≤－1a，
即函數的定義域為(－∞，－1a]．
∵函數在區間(－∞，1]上有意義，
∴(－∞，1](－∞，－1a]，
∴－1a≥1，而a＜0，∴－1≤a＜0.
即a的取值范圍是[－1,0)．
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