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離散數學(xué)論文
摘要：起初，集合論主要是對分析數學(xué)中的“數集”或幾何學(xué)中的“點(diǎn)集”進(jìn)行研究。但是隨著(zhù)科學(xué)的發(fā)展，集合論的概念已經(jīng)深入到現代各個(gè)方面，成為表達各種嚴謹科學(xué)概念必不可少的數學(xué)語(yǔ)言。隨著(zhù)計算機時(shí)代的到來(lái)，集合的元素已由傳統的“數集”和“點(diǎn)集”拓展成包含文字、符號、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構成了各種數據類(lèi)型的集合。
關(guān)鍵詞：集合論、計算機、應用
1、集合論的歷史。
集合論是一門(mén)研究數學(xué)基礎的學(xué)科。集合論是現代數學(xué)的基礎，是數學(xué)不可或缺的基本描述工具�？梢赃@樣講，現代數學(xué)與離散數學(xué)的“大廈”是建立在集合論的基礎之上的。21世紀數學(xué)中最為深刻的活動(dòng)，就是關(guān)于數學(xué)基礎的探討。這不僅涉及到數學(xué)的本性，也涉及到演繹數學(xué)的正確性。數學(xué)中若干悖論的發(fā)現，引發(fā)了數學(xué)史上的第三次危機，而這種悖論在集合論中尤為突出。
集合論是德國著(zhù)名數學(xué)家康托爾(G.Cantor)于19世紀末創(chuàng )立的。
十七世紀數學(xué)中出現了一門(mén)新的分支：微積分。在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結出了豐碩成果。其推進(jìn)速度之快使人來(lái)不及檢查和鞏固它的理論基礎。十九世紀初，許多迫切問(wèn)題得到解決后，出現了一場(chǎng)重建數學(xué)基礎的運動(dòng)。正是在這場(chǎng)運動(dòng)中，康托爾開(kāi)始探討了前人從未碰過(guò)的實(shí)數點(diǎn)集，這是集合論研究的開(kāi)端。
經(jīng)歷二十余年后，集合論最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學(xué)家們的贊同。數學(xué)家們樂(lè )觀(guān)地認為從算術(shù)公理系統出發(fā)，只要借助集合論的概念，便可以建造起整個(gè)數學(xué)的大廈。在1900年第二次國際數學(xué)大會(huì )上，著(zhù)名數學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“??數學(xué)已被算術(shù)化了。我們可以說(shuō)，現在數學(xué)已經(jīng)達到了絕對的嚴格�！比欢@種自得的情緒并沒(méi)能持續多久。
這一僅涉及集合與屬于兩個(gè)最基本概念的悖論如此簡(jiǎn)單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地。號稱(chēng)“天衣無(wú)縫”、“絕對嚴密”的數學(xué)陷入了自相矛盾之中。從此整個(gè)數學(xué)的基礎被動(dòng)搖了，由此引發(fā)了數學(xué)史上的第三次數學(xué)危機。
危機產(chǎn)生后，眾多數學(xué)家投入到解決危機的工作中去。1908年，德國數學(xué)家策梅羅(E.Zermelo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化的方法來(lái)消除悖論。他認為悖論的出現是由于康托爾沒(méi)有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的．策梅羅希望簡(jiǎn)潔的公理能使集合的定義及其具有的性質(zhì)更為顯然。策梅羅的公理化集合論后來(lái)演變成ZF或ZFS公理系統。從此原本直觀(guān)的集合概念被建立在嚴格的.公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理化集合論。與此相對應，在1908年以前由康托爾創(chuàng )立的集合論被稱(chēng)為樸素集合論。
2、集合論在計算科學(xué)中的應用。
集合論在計算機科學(xué)中的應用集合論包括集合、關(guān)系和函數3部分。1)集合集合不僅可以表示數,而且可以像數一樣進(jìn)行運算,還
可以用于非數值信息的表示和處理,如數據的增加、刪除、排序以及數據間關(guān)系的描述,有些很難用傳統的數值計算來(lái)處理的問(wèn)題,卻可以用集合來(lái)處理。因此,集合論在程序語(yǔ)言、數據結構、數據庫與知識庫、形式語(yǔ)言和人工智能等領(lǐng)域得到了廣泛應用。2)關(guān)系關(guān)系也廣泛地應用于計算機科學(xué)技術(shù)中,例如計算機程序的輸入和輸出關(guān)系、數據庫的數據特性關(guān)系和計算機語(yǔ)言的字符關(guān)系等,是數據結構、情報檢索、數據庫、算法分析、計算機理論等計算機領(lǐng)域中的良好數據工具。另外,關(guān)系中劃分等價(jià)類(lèi)的思想也可用于求網(wǎng)絡(luò )的最小生成樹(shù)等圖的算法中。3)函數函數可以看成是一種特殊的關(guān)系,計算機中把輸入、輸出間的關(guān)系看成是一種函數。類(lèi)似地,在開(kāi)關(guān)理論、自動(dòng)機原理和可計算性理論等領(lǐng)域中,函數都有極其廣泛的應用,其中雙射函數是密碼學(xué)中的重要工具。
起初，集合論主要是對分析數學(xué)中的“數集”或幾何學(xué)中的“點(diǎn)集”進(jìn)行研究。但是隨著(zhù)科學(xué)的發(fā)展，集合論的概念已經(jīng)深入到現代各個(gè)方面，成為表達各種嚴謹科學(xué)概念必不可少的數學(xué)語(yǔ)言。
隨著(zhù)計算機時(shí)代的到來(lái)，集合的元素已由傳統的“數集”和“點(diǎn)集”拓展成包含文字、符號、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構成了各種數據類(lèi)型的集合。集合不僅可以用來(lái)表示數及其運算，更可以用來(lái)表示和處理非數值信息。數據的增加、刪除、修改、排序以及數據間關(guān)系的描述等這些很難用傳統的數值計算操作，可以很方便地用集合運算來(lái)處理。從而集合論在編譯原理、開(kāi)關(guān)理論、信息檢索、形式語(yǔ)言、數據庫和知識庫、CAD、CAM、CAI及AI等各個(gè)領(lǐng)域得到了
廣泛的應用，而且還得到了發(fā)展，如扎德(Zadeh)的模糊集理論和保拉克(Pawlak)的粗糙集理論等等。集合論的方法已經(jīng)成為計算科學(xué)工作者不可缺少的數學(xué)基礎知識。
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